바라보기, 찾기, Proof by contradiction, 歸謬法, 귀류법, 참 증명을 위해 그 명제의 부정에서 모순을 발견

바라보기, 찾기, Proof by contradiction, 歸謬法, 귀류법, 참 증명을 위해 그 명제의 부정에서 모순을 발견

 

Proof by contradiction, also known as reductio ad absurdum, is a proof technique used in mathematics and logic. To prove that a proposition is true, this method involves assuming the negation of the proposition and then deriving a contradiction from this assumption. If a contradiction arises under the assumption that the proposition is false, then the assumption must be incorrect. Consequently, the original proposition must be true. This method is particularly useful when a direct proof is challenging.

 

Here's the proof that √2 is irrational, translated into English:

Proof: Demonstrating that √2 is irrational

1. Assumption: Assume for contradiction that √2 is a rational number. According to the definition of rational numbers, √2 can be expressed as the ratio p/q of two integers p and q, where p and q are in their lowest terms (i.e., they have no common factors).
2. Equation Setup: If √2 = p/q, squaring both sides gives us 2 = p²/q². Rearranging this, we get p² = 2q².
3. Finding the Contradiction:
   • From p² = 2q², we see that p² must be even.
   • If p² is even, then p itself must also be even (since the square of an odd number is odd).
   • If p is even, we can write p as 2k, where k is an integer.
   • Substituting back into p² = 2q² gives (2k)² = 2q², hence 4k² = 2q², simplifying to 2k² = q².
   • This implies that q² is even, so q must also be even.
4. Final Contradiction: We initially assumed that p and q were coprime, but finding that both p and q are even means they both share at least the factor 2, contradicting the assumption that they have no common factors.
5. Conclusion: The assumption led to a contradiction, so the assumption is false. Therefore, √2 cannot be a rational number; it is irrational.

 

 

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귀류법은 수학이나 논리학에서 사용되는 증명 기법 중 하나로, 어떤 명제가 참임을 증명하기 위해 그 명제의 부정에서 모순을 발견함으로써 원래의 명제가 참임을 보이는 방법입니다. 즉, 원래의 명제를 부정한 가정 하에 논리적 추론을 진행했을 때 모순이 나타난다면, 그 가정 자체가 틀렸다고 결론 내리는 것이죠. 이를 통해 원래의 명제가 참이라는 결론을 도출할 수 있습니다. 이 방법은 직접적인 증명이 어려울 때 유용하게 사용됩니다.

귀류법의 대표적인 예로는 "√2가 무리수임을 증명하는 방법"을 들 수 있습니다. 이 증명은 귀류법을 사용하여 수학에서 자주 인용되는 예시 중 하나입니다.

증명: √2가 무리수임을 보이기

1. 가정: 가정으로, √2가 유리수라고 하자. 유리수의 정의에 따라, √2를 두 개의 정수 p와 q의 비율 p/q로 나타낼 수 있다고 가정하고, 이 때 p와 q는 서로소인 최소 형태라고 가정한다. (즉, p와 q는 더 이상 공약수가 없다.)
2. 방정식 설정: √2 = p/q로 가정하면, 양변을 제곱하여 2 = p²/q²로 나타낼 수 있다. 이를 정리하면 p² = 2q²가 된다.
3. 모순 찾기:
   • p² = 2q²에서 p²은 짝수임을 알 수 있다.
   • p²이 짝수이면 p도 짝수여야 한다. (홀수의 제곱은 홀수이므로)
   • p가 짝수라면, p를 2k라고 표현할 수 있다. (k는 정수)
   • 이를 p² = 2q²에 대입하면, (2k)² = 2q², 따라서 4k² = 2q², 이를 정리하면 2k² = q²이다.
   • 여기서 q²도 짝수가 되므로 q도 짝수여야 한다.
4. 최종 모순: 처음에 p와 q는 서로소라고 가정했는데, p와 q가 모두 짝수라는 것은 둘 다 최소한 2를 공약수로 갖는다는 의미이다. 이는 둘 사이에 공약수가 없다는 초기 가정에 모순된다.
5. 결론: 가정이 모순을 일으켰으므로, 가정이 틀렸다. 따라서, √2는 유리수가 아니며, 무리수임이 증명된다.

 

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귀류법(歸謬法, 문화어: 귀유법)은 어떤 주장에 대해 그 함의하는 내용을 따라가다보면 이치에 닿지 않는 내용 또는 결론에 이르게 된다는 것을 보여서 그 주장이 잘못된 것임을 보이는 것이다. 배리법(背理法) 또는 반증법(反證法)이라고 일컬어지기도 한다.[1] 귀류법은 간접증명법이다.[2][3][4]

영어권에서는 라틴어로 "레둑티오 아드 아브수르둠(Reductio ad absurdum)"이라고 하며 이것의 해당 영어 번역은 "리덕션 투 더 업설드(reduction to the absurd)"이다. 수학에서는 특히 귀류법 또는 배리법이라고 부르며, 수학의 귀류법은 어떤 수학적 명제가 참인 것을 증명하는 수학적 증명 방법 중 하나이다. 수학의 귀류법은 영어로 "Proof by contradiction (프루프 바이 컨트러딕션 · 모순에 의한 증명)"이라고 한다.-위키백

• 귀류법(歸謬法): 오류로 귀착된다는 것을 보임
• 배리법(背理法): 이치에 어긋나게 된다는 것을 보임
• 반증법(反證法): 반대 증거가 나타나게 된다는 것을 보임
• 레둑티오 아드 아브수르둠(Reductio ad absurdum): 터무니 없는 것으로 돌아가게 되는 것을 보임

수학에서 귀류법 · 배리법은 증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정하였을 때 모순되는 가정이 나온다는 것을 보여, 원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다. 귀류법은 유클리드가 2000년 전 소수의 무한함을 증명하기 위해 사용하였을 정도로 오래된 증명법이다.

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歸謬法 / proof by contradiction

수학과 논리학의 증명법 중 하나. 배리법(背理法)[1]이라고도 한다.

어떤 명제가 참이라고 가정한 후, 모순을 이끌어내 그 가정이 거짓임을, 즉 처음의 명제가 거짓임을 증명하는 방법이다. 일상 언어 생활에서도 은근히 자주 볼 수 있는 방식이다. "그래, 네 말이 맞다고 치자. 그런데 이러이러하니까 말이 안 되네. 따라서 네 말은 틀렸어"식의 말이 다름 아닌 귀류법.

수학에서는 흔히 간접적 증명이라고도 부른다.

무한강하법 역시 귀류법의 한가지 방법이다.

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• 논증(Argument)
• 추론(Inference · Reasoning)
• 연역법(Deductive reasoning)
• 귀납법(Inductive reasoning)
• 증명(Mathematical proof)
• 수학적 귀납법(Mathematical induction)